Федот Васильевич Сычков родился 1 марта 1870 года в селе Кочелаево Пензенской губернии в бедной крестьянской семье. Рано лишившись отца, познал в детстве много нужды и обид.
Учился в трёхклассной земской школе села Кочелаева, способности к рисованию проявил с детства, занимался рисованием у учителя школы П. Е. Дюмаева. Работал в иконописной мастерской, писал фрески в церквях, выполнял портреты по фотографиям. С 1885 года по 1887 год работал в Сердобске Пензенской губернии у подрядчика иконописца Д. А. Решетникова.
С 1887 года по 1892 год жил в Кочелаеве, самостоятельно занимался живописью, писал иконы, портреты односельчан. В 1892 году по заказу генерала Ивана Андреевича Арапова, имение которого находилось неподалеку от Кочелаева, написал картину «Закладка станции Арапово». Показанная директору Рисовальной школы для вольноприходящих Евгению Александровичу Сабанееву, картина произвела впечатление. Отметив талант Сычкова, Сабанеев посоветовал привезти юношу в Петербург.
В 1892 году Сычков переехал в Петербург и поступил учиться в Рисовальную школу Общества поощрения художеств. Поддержку ему оказал генерал Иван Андреевич Арапов. В 1895 году Федот Сычков окончил Рисовальную школу и стал вольнослушателем в Высшем художественном училище при Академии художеств.
Окончив училище в 1900 году, Ф. В. Сычков продолжал жить в Петербурге, где много и успешно работал. В 1903 году женился на Лидии Васильевне Анкудиновой.
Своим главным учителем Ф. В. Сычков считал И. Е. Репина. Его творческая манера, сформировавшаяся на образцах искусства передвижников, испытала также влияние французской пленэрной живописи. Основный жанр его творчества — пейзажно-бытовой, но он также успешно работал в жанре портрета.
В 1900 году Ф. В. Сычкову было присвоено звание художника за картину «Вести с войны». В 1905 году удостоен премии имени А. И. Куинджи на Весенней выставке в Академии художеств за картину «Мяльщицы льна». Избран членом Комитета Общества взаимного вспомоществования русских художников.
С апреля по октябрь 1908 года Сычков с женой путешествовал по Западной Европе. Побывав в Италии, Франции, Германии, привёз много пейзажей Рима, Венеции, Ментоны и морских видов.
В 1909—1917 годах работы Сычкова неоднократно отмечались на российских и международных художественных выставках.
В 1918—1920 годах участвовал в оформлении революционных праздников в городе Наровчате, на станции Арапово и в родном селе Кочелаеве. Отдав дань революционной тематике, примером может служить картина «В. И. Ленин освобождает из тюрьмы угнетённых пролетариев всего мира», Ф. В. Сычков вскоре вернулся к любимым темам, портреты крестьянских детей и девушек, пейзажи.
В 1937 году Ф. В. Сычкову было присвоено звание «Заслуженный деятель искусств Мордовской АССР».
Последние годы жил в Саранске, где пользовался заслуженным уважением. Там он и скончался 3 августа 1958 года.
Главная тема художника — жизнь крестьян, сельские праздники. Наиболее известные работы:
— «Портрет Анны Ивановны Сычковой, матери художника» 1898 года;
— «Вести с войны» 1900 года;
— «Женский портрет» 1903 года;
— «Портрет в чёрном» 1904 года;
— «Мяльщицы льна» 1905 года;
— «Подружки» 1909 года;
— «С гор» 1910 года;
— «Возвращение с сенокоса» 1911 года;
— «Катание на масленице» 1914 года;
— «Возвращение с ярмарки» 1910 года;
— «Деревенская свадьба»;
— «Водосвятие»;
— «Христославы»;
— «Трудный переход» 1913 года;
— «Праздничный день» 1927 года;
— «Праздничный день. Подруги. Зима» 1929 года;
— «Выходной день в колхозе» 1936 года;
— «Колхозный базар» 1936 года;
— «Учительница-мордовка» 1937 года;
— «Портрет художника Ивана Силыча Горюшкина-Сорокопудова» 1937 года;
— «Трактористки-мордовки» 1938 года;
— «Праздник урожая» 1938 года;
— «Вручение акта на вечное бесплатное пользование землей» 1938 года;
— «Возвращение из школы» 1945 года;
— «Встреча героя» 1952 года.
