А.Н. Сомов происходил из потомственных дворян. Воспитывался в Морском кадетском корпусе и в декабре 1841 года был выпущен в 3-й флотский экипаж.
В 1853 году был избран в кандидаты Воронежского уездного предводителя дворянства и назначен директором Воронежского попечительного комитета о тюрьмах, а в 1855 году — воронежским уездным предводителем дворянства. В 1856 году был назначен судьей Воронежского совместного суда; в 1857 избран попечителем Воронежской арестантской полуроты гражданского ведомства; в 1858 году назначен членом Воронежского губернского комитета по крестьянскому делу.
В 1861 году был назначен членом временной комиссии, открытой для предварительных распоряжении по крестьянским делам, затем членом по крестьянским делам присутствия. В том же году пожалован в звание камергера. В 1862 году назначен старшим кандидатом губернского предводителя дворянства; в 1865 году избран председателем Воронежской губернской земской управы; в 1867 году назначен почётным мировым судьёй по Воронежскому уезду.
С 31 марта 1868 года занимал должность губернатора Тверской губернии.
В 1890 году получил назначение сенатором в департамент герольдии Сената; в 1891 году был перемещён в 5-й департамент, а затем в соединенное присутствие 4, 5 межевого департамента Сената; с 1896 года присутствовал во 2-м всеобщем собрании Сената.
Был пожизненным почётным членом Тверского губернского попечительства о детских приютах.
В Воронежской губернии у него было имение в 2552 десятин земли.
Умер 31 октября 1899 года.
