Алексей Васильевич Можаев родился 5 октября 1918 года в деревне Вторая Сосновка Саратовской губернии в семье школьных учителей.
В 1933—1936 годах учился в Пензенском художественно-педагогическом училище у Н. Ф. Петрова, И. С. Горюшкина-Сорокопудова. В 1936 году по вызову И. И. Бродского приехал в Ленинград и успешно сдал вступительные экзамены в Ленинградский институт живописи, скульптуры и архитектуры на живописный факультет. Занимался у Михаила Бернштейна, Александра Любимова, Исаака Бродского, Генриха Павловского.
В 1941—1942 годах работал в Саратове в «Окнах ТАСС». В 1943 году вернулся к учёбе, занимался в мастерских Александра Осмёркина и Бориса Иогансона. В 1946 году окончил ЛИЖСА имени И. Е. Репина по мастерской Бориса Иогансона. Дипломная картина — «В родной семье». В этом же году был принят в члены Ленинградского Союза советских художников и товарищество художников Ленизо.
Первое участие Алексея Можаева в выставке относится к 1936 году. С конца 1940-х он уже постоянный экспонент выставок ленинградских художников. Писал портреты, пейзажи, жанровые и тематические композиции. Работал в технике масляной живописи, рисунка и автолитографии. Талантливый рисовальщик. Персональные художественные выставки в Ленинграде и Санкт-Петербурге.
Ведущий жанр в творчестве Алексея Можаева — живописный портрет. Развитие шло от академической манеры, основанной на строгом объективизме и типизации, к усилению выразительности в передаче индивидуальных характеристик и утончению колорита. Живопись строится на звучных светотеневых контрастах, искусной передаче пленэра и тональных отношений. В дальнейшем усиливается декоративность колорита и обобщённость рисунка. В 1989—1992 годах работы художника с успехом были представлены на выставках и аукционах русской живописи L’ Ecole de Leningrad во Франции.
Алексей Можаев свыше 30 лет посвятил педагогической работе в Средней художественной школе, ныне — Санкт-Петербургский государственный академический художественный лицей им. Б. В. Иогансона Российской академии художеств, при Ленинградском институте живописи, скульптуры и архитектуры имени И. Е. Репина и Ленинградском художественном училище имени В. А. Серова, ныне — Санкт-Петербургское художественное училище имени Н. К. Рериха.
Скончался 23 января 1994 года в Санкт-Петербурге на 76-м году жизни. Похоронен на Казанском кладбище в Пушкине.
Произведения А. В. Можаева находятся в музеях и частных собраниях в России, Франции, США, Великобритании, Японии, Италии и других странах.
