Алексей Николаевич Бекетов родился 19 февраля 1862 года в городе Харькове, по другим данным — в Киеве, в семье Николая Николаевича Бекетова — основателя физико-химической науки, академика Императорской Академии Наук.
Учился Харьковском реальном училище, а также в частной художественной школе М. Д. Раевской-Ивановой. Получил высшее образование на архитектурном факультете Академии художеств в Санкт-Петербурге, у профессоров Д. И. Гримма и А. И. Кракау в 1882—1888 годах. Работал в то же время у известного петербургского архитектора М. Е. Месмахера, участвуя в проектах дворца Великого князя Михаила Михайловича, здания архива Государственного совета и других. Окончил Академию с золотой медалью, защитив дипломный проект на тему: «Вокзал при морских купальнях на Чёрном море».
С 1890 года преподавал в Харьковском технологическом институте.
Звание академика архитектуры получил в 1894 году за проект здания Общественной библиотеки на полтора миллиона томов, с 1921 года носящей имя Короленко, крупнейшей библиотеки Восточной Украины.
В значительной мере сформировал архитектурный облик Харькова, более 40 зданий, особенно Нагорного района, улиц Пушкинской, Мироносицкого переулка и Садово-Куликовской.
Около 60 зданий по его проектам также построены в Крыму, Симферополь, Алушта, Киеве, Ростове-на-Дону, Екатеринославе, Лубнах, Новочеркасске, Белгороде, Баку, Донецке и городах Донбасса, Горловке, Макеевке и других.
Бекетов воспитал поколение молодых украинских, русских и советских архитекторов, которые учились в технологическом (ХПИ), институте искусств (ХХПИ), инженерно-строительном (ХИСИ) и институте инженеров коммунального хозяйства (ХИИКС) в Харькове. Среди его учеников архитекторы А. Н. Душкин, Я. Г. Лихтенберг, В. Г. Кричевский.
Был женат на дочери украинского горнопромышленника Алексея Алчевского Анне, которая была художницей.
Скончался 23 ноября 1941 года в оккупированном немцами Харькове.
Был похоронен на городском кладбище на месте нынешнего Молодёжного парка. Во второй половине 1970-х годов, перед ликвидацией кладбища, прах был перенесён на тринадцатое городское кладбище Харькова далее по Пушкинской улице.
Архитектурный архив Алексея Бекетова находится в Центральном государственном научно-техническом архиве Украины в Харькове.
