Родился в 1857 году, получил среднее образование, служил в Русской Императорской армии, после ухода в отставку в чине прапорщика занялся подрядными работами. Взялся за строительство атаманского дворца, 6 декабря 1894 года он был освящен. Имя подрядчика Акулова, добросовестно и точно к намеченному сроку закончившего большое трехэтажное здание, стало популярно в Екатеринодаре.
Акулов продолжал заниматься подрядными работами, так, например, он построил железный мост через реку Белую, ведущий в станицу Тульскую. 14 апреля 1912 года совместно с другими богатыми екатеринодарцами открыл частный ломбард. Избрался гласным (то есть по-современному — депутатом) в Екатеринодарскую городскую думу, где возглавил финансовую комиссию. Он являлся почетным мировым судьей и почетным членом Войскового приюта для девиц.
Его многочисленные труды по достоинству оценили и городское самоуправление, и войсковое начальство: Филипп Матвеевич получил чин коллежского асессора и ему высочайше было пожаловано звание личного дворянина.
Впервые на пост городского головы Филипп Матвеевич баллотировался в 1907-м. Повторно его кандидатура выдвигалась в 1916 году, но только спустя три года Акулов был избран главой города. 12 ноября 1919 года состоялись выборы городского головы, на которых, набрав 52 голоса, Филипп Матвеевич был избран градоначальником Екатеринодара.
Зимой 1919 — 1920 гг. ситуация на фронтах Гражданской войны коренным образом изменилась в пользу Красной Армии. Политическая обстановка в городе была тяжелой, в Екатеринодаре царила паника. При таком развале городской жизни Акулов ничего полезного для города сделать не смог. Незадолго до прихода в город красных жена и четверо детей Филиппа Матвеевича были эвакуированы из Новороссийска на Принцевы острова. Сам Филипп Матвеевич с уходящей Белой армией оказался в Крыму. Затем перебрался в Константинополь, где занимался поставками для Русской армии генерала Врангеля. В эмиграции жил в Югославии, где и умер в пригороде Белграда городе Панчеве 8 января 1934 года.
